СКЛАДУ НМТ — математика

Вариант № 9465

Микола частує свою родину фруктовим салатом із яблук, бананів й апельсинів. Для приготування однієї порції салату потрібно 1 банан, 2 апельсини та 3 яблука. Скільки апельсинів використав Микола, якщо він приготував за цим рецептом салат із 24 фруктів?

А) 4

Б) 5

В) 8

Г) 12

Д) 18

Знайти ціну 1 кг суміші, складеної з 6 кг горіхів по 300 руб. і 4 кг горіхів по 450 руб.

А) 360 руб.

Б) 320 руб.

В) 375 руб.

Г) 400 руб.

Д) 380 руб.

Розгорнення конуса є

А) круговий сектор

Б) коло

В) трикутник

Г) прямокутник

Д) трапецiя

Спростіть вираз $корень из: начало аргумента: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента .$

А) $минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

Б) −4

В) $минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 4$

Г) 4

Д) $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

На малюнку зображено трикутник ABC, у якому ∠ ACB = 35°, ∠ AMN = 107°. Використовуючи дані малюнка, знайдіть градусну міру кута BAC.

А) 60°

Б) 55°

В) 38°

Г) 30°

Д) 25°

Розв’яжіть рівняння $4 левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка = 2x плюс 3 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка .$

А) −14

Б) −12

В) −18

Г) −17

Д) −20

На рисунку зображено графік функції $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ визначеної на проміжку [−3; 2]. Укажіть точку екстремуму функції $у =f левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка минус 2.$

А) $x_0= минус 2$

Б) $x_0=1$

В) $x_0=4$

Г) $x_0= минус 1$

Д) $x_0=3$

Спростіть вираз $дробь: числитель: a в квадрате плюс 16, знаменатель: a минус 4 конец дроби минус дробь: числитель: 8a, знаменатель: a минус 4 конец дроби .$

А) −1

Б) a − 4

В) a + 4

Г) 1

Д) $левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка в квадрате$

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Через будь-які три точки проходить тільки одна пряма.

II. Відрізок, що з'єднує середини діагоналей трапеції, дорівнює напіврізниці її основ.

III. Вписані кути, що спираються на одну й ту саму хорду кола, рівні.

А) Тільки І I

Б) Тільки II

В) Тільки III

Г) Тільки I и II

Д) Всі твердження

10.  

Виразіть x із рівності $дробь: числитель: 2 плюс y, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: xy, знаменатель: 15 конец дроби .$

А) $x=4y минус 6$

Б) $x=4y плюс 6$

В) $x=20y плюс 30$

Г) $x=20y минус 30$

Д) $x=2y плюс 2$

11.  

Розв’яжіть систему нерівностей: $система выражений 4x плюс 2 больше или равно 5x плюс 3,2 минус 3x меньше 7 минус 2x. конец системы .$

А) $левая квадратная скобка минус 5; минус 1 правая круглая скобка$

Б) $левая круглая скобка минус 5; минус 1 правая квадратная скобка$

В) $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 5 правая круглая скобка$

Г) $левая квадратная скобка минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка$

Д) $левая круглая скобка минус 5; 1 правая квадратная скобка$

12.  

На рисунку зображено прямокутник і трикутник, що є гранями правильної трикутної призми. Периметр цього прямокутника дорівнює 38 см. Визначте площу основи цієї призми, якщо довжина висоти призми дорівнює 11 см.

А) $16 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см в квадрате$

Б) $32 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см в квадрате$

В) 24 см²

Г) 64 см²

Д) $24 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см в квадрате$

13.  

Знайдіть корінь рівняння: $корень из: начало аргумента: минус 72 минус 17x конец аргумента = минус x.$

А) $левая круглая скобка минус 10; минус 9 правая квадратная скобка$

Б) $левая круглая скобка минус 7; минус 2 правая квадратная скобка$

В) $левая круглая скобка минус 1;7 правая квадратная скобка$

Г) $левая круглая скобка минус 11; минус 7 правая квадратная скобка$

Д) $левая круглая скобка 2;9 правая круглая скобка$

14.  

Довжини сторін трикутника відносяться як 3: 4: 5. Визначте довжину найбільшої сторони цього трикутника, якщо його периметр дорівнює 72 см.

А) 20 см

Б) 24 см

В) 30 см

Г) 35 см

Д) 36 см

15.  

Укажіть похідну функції $y= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби x в степени 6 плюс 5x в степени 4 минус 14.$

А) $y'= минус дробь: числитель: x в степени 7 , знаменатель: 6 конец дроби плюс x в степени 5 минус 14x$

Б) $y'= минус 7x в степени 5 плюс 20x в кубе минус 14$

В) $y'= минус 7x в степени 5 плюс 20x в кубе$

Г) $y'= минус 7x в степени 7 плюс 25x в степени 5$

Д) $y'= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 36 конец дроби x в степени 5 плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби x в кубе$

19.  

При проведении химической реакции в растворе образуется нерастворимый осадок. Наблюдения показали, что каждую минуту образуется 0,2 г осадка. Найдите массу осадка (в граммах) в растворе спустя семь минут после начала реакции.

Відповідь: ,.

20.  

У фінал пісенного конкурсу вийшло 4 солісти та 3 гурти. Порядковий номер виступу фіналістів визначають жеребкуванням. Скільки всього є варіантів послідовностей виступів фіналістів, якщо спочатку виступатимуть гурти, а після них — солісти?

Уважайте, що кожен фіналіст виступатиме у фіналі лише один раз.

Відповідь: ,.

21.  

В прямоугольной системе координат в пространстве заданы векторы $\overrightarrowAB левая круглая скобка 2;3;1 правая круглая скобка$ и $\overrightarrowCD левая круглая скобка минус 2; минус 3;1 правая круглая скобка .$ Найдите сумму координат вектора $\vecd = \overrightarrowAB плюс \overrightarrowCD.$

Відповідь: ,.

22.  

Определите, при каких значениях параметра a, $a больше 3,$ такие, что уравнение $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 4a минус 4=0$ имеет ровно один корень.

Відповідь: ,.

Решение. Пусть $t=2 в степени x ,$ тогда $t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка t плюс 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0.$ Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученное уравнение должно иметь:

− единственный корень, который положителен (случай 1);

− два корня, один из которых положительный, а второй отрицательный (случай 2);

− два корня, один из которых положительный, а второй равен нулю (случай 3).

Случай 1. Дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю:

$левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 16 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно a в квадрате плюс 6a плюс 9 минус 16a плюс 16=0 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 10a плюс 25=0 равносильно левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно a=5.$ $левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 16 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно a в квадрате плюс 6a плюс 9 минус 16a плюс 16=0 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 10a плюс 25=0 равносильно левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно a=5.$

Тогда $t= дробь: числитель: a плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби =4,$ что соответствует условию положительности корня.

Случай 2. Пусть $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка t плюс 4a минус 4,$ тогда $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше 0,$ т. е. $4a минус 4 меньше 0,$ откуда $a меньше 1.$

Случай 3. Необходимо и достаточно выполнения системы $система выражений f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0,t_в больше 0, конец системы .$ откуда

$система выражений 4a минус 4=0, дробь: числитель: a плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно a=1.$

Объединяя рассмотренные случаи с учетом условия $a больше 3,$ окончательно получаем $a=5.$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка 5 правая фигурная скобка .$

Приведем другое решение.

Пусть $t=2 в степени x ,$ тогда $t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка t плюс 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0.$ Заметим, что сумма корней уравнения $t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка t плюс 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0$ равна $a плюс 3,$ а их произведение равно $4a минус 4.$ Следовательно, это числа 4 и $a минус 1.$ Чтобы исходное уравнение имело ровно одно решение, полученное уравнение должно иметь ровно одно положительное решение. Для этого корень $a минус 1$ либо должен совпадать с числом 4, либо быть неположительным. Отсюда находим: $a\leqslant1$ и $a=5.$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2660	3
2	2539	1
3	2566	1
4	2202	4
5	1815	3
6	1617	4
7	1455	1
8	1896	2
9	1583	2
10	1922	2
11	1475	2
12	2252	1
13	398	4
14	1802	3
15	1494	3
16	1643	ВДГ
17	1886	Б В А
18	1517	Д Г В
19	2601	1 4
20	2620	144
21	2641	2
22	2419	5

Ключ