СКЛАДУ НМТ — математика

Кола

1.  Тип 18 № 1511 Добавить в вариант

Кодификатор Решу НМТ:

5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника.

Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружности, Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника, Треугольники

Обчислення у планіметрії. Кола

На рисунку зображено коло з центром у точці О, радіус якого дорівнює 6. Хорду ВС видно з центра кола під кутом 60°, ВК — діаметр. Через точку А до кола проведено дотичну АВ, причому АО=2АВ. Установіть відповідність між відрізком (1−3) та його довжиною (А−Д).

Вираз

1.    BK

2.    AB

3.    BC

Довжина відрізка

А    $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

Б    6

В    $6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

Г    $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

Д    12

Решение. Вычислим длины отрезков (1−3).

1. Так как диаметр окружности в два раза больше радиуса окружности, то согласно условию, получаем: $BK=2 умножить на 6=12.$ Таким образом, 1 — Д.

2. Рассмотрим треугольник ABO. Так как прямая AB причастна к окружности, то $\angle ABO$  — прямой. В прямоугольном треугольнике ABO длина катета BO равна 6, а гипотенуза $AO=2 AB.$ Применив теорему Пифагора, получим:

$6 в квадрате плюс A B в квадрате = левая круглая скобка 2 A B правая круглая скобка в квадрате равносильно 36 плюс AB в квадрате =4 AB в квадрате равносильно 36=3 AB в квадрате равносильно$
$равносильно AB в квадрате =12 равносильно AB= корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 4 умножить на 3 конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $6 в квадрате плюс A B в квадрате = левая круглая скобка 2 A B правая круглая скобка в квадрате равносильно 36 плюс AB в квадрате =4 AB в квадрате равносильно$
$равносильно 36=3 AB в квадрате равносильно AB в квадрате =12 равносильно$
$равносильно AB= корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 4 умножить на 3 конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $6 в квадрате плюс A B в квадрате = левая круглая скобка 2 A B правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 36 плюс AB в квадрате =4 AB в квадрате равносильно$
$равносильно 36=3 AB в квадрате равносильно AB в квадрате =12 равносильно$
$равносильно AB= корень из: начало аргумента: 12 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 4 умножить на 3 конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Воспользовавшись тем, что в прямоугольном треугольнике ABO угол $\angleAOB = 30 градусов,$ получим такой же результат, так как известно, что гипотенуза вдвое больше катета, противолежащего углу, градусная мера которого равна 30°. Найдем AB:

$AB=BO тангенс 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =6 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Следовательно, 2 — А.

3. Отрезки BO и OC равны как радиусы одной окружности, $\angleBOC = 60 градусов,$ $\angleBCO = 60 градусов,$ поэтому треугольник BOC — равносторонний. Отсюда BC = 6, таким образом, 3 — Б.

Ответ: 1 — Д, 2 — А, 3 — Б.

Ответ: Д&А&Б

1511

Д А Б

Кодификатор Решу НМТ:

5.1.4 Окружность и круг;

5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника.

2.  Тип 18 № 1528 Добавить в вариант

Кодификатор Решу НМТ:

5.1.4 Окружность и круг;

5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника;

5.1.7 Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника.

Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Многоугольники, Многоугольники и их свойства, Окружности, Окружности и треугольники, Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники

Обчислення у планіметрії. Кола

На кожному з рисунків зображено коло з центром у точці О та хорду АВ. Кут ACB і ADB — вписані кути, які спираються на хорду АВ. Установіть відповідність між вписаним кутом АСВ, зображеним на рисунках (1−3), та його градусною мірою (А−Д).

Рисунки

Градусна мiра вписаного кута ACB

А    100°

Б    90°

В    80°

Г    60°

Д    50°

Решение. 1. В окружность вписан четырехугольник, поэтому сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°. Зная, что $\angleACB плюс \angleD = 180 градусов ,$ определим, что $\angleACB = 80 градусов.$ Итак, 1 — В.

2. Воспользовавшись свойством центрального и вписанного углов, определим, что $\angleACB = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angleO = 50 градусов .$ Таким образом, 2 — Д.

3. Угол $\angleACB$  — вписанный, опирающийся на диаметр. Его градусная мера равна 90°. Получаем: 3 — Б.

Ответ: 1 — В, 2 — Д, 3 — Б.

Ответ: В&Д&Б

1528

В Д Б

Кодификатор Решу НМТ:

5.1.4 Окружность и круг;

5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника;

5.1.7 Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника.

3.  Тип 18 № 1535 Добавить в вариант

Кодификатор Решу НМТ:

5.1.1 Треугольник;

5.1.4 Окружность и круг;

5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника.

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и треугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника, Треугольники

Обчислення у планіметрії. Кола

На рисунку зображено коло із центром у точці O. Хорди AB і АС рівні. AK — діаметр. PM — дотична до кола, проведена в точці C, $\angle BAC=80 градусов.$ До кожного початку речення (1—3) доберіть його закінчення (А—Д) так, шоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1.    Градусна міра гула OCM дорівнює

2.    Градусна міра кута ACP дорівнює

3.    Градусна міра меншої дуги AB дорівнює

Закінчення речення

А    50°

Б    80°

В    90°

Г    100°

Д    120°

Решение. 1. Прямые OC и MP перпендикулярны по свойству касательной к окружности, поэтому $\angle OCM=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Итак, ответ — В.

2. Градусная мера угла $\angleABC$ равна 80°, AK — диаметр окружности и биссектриса угла $\angleBAC.$ Углы $\angleBAK$ и $\angleKAC$ равны 40°. Отрезки OA и OC равны как радиусы одной окружности, поэтому треугольник AOC — равнобедренный, $\angle A=\angle C=40 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Найдем градусную меру угла $\angleACP:$

$\angleACP = \angleOCP минус \angleOCA = 50 градусов .$

Итак, ответ — А.

3. Градусная мера дуги AB равна градусной мере центрального угла $\angle AOB.$ Треугольники AOB и AOC равны по трем сторонам. Найдем градусную меру угла $\angleAOB:$

$\angleAOB = 180 градусов минус 2\angleA = 100 градусов ,$

отсюда градусная мера дуги AB равна 100°. Таким образом, ответ — Г.

Ответ: 1 — В, 2 — А, 3 — Г.

Ответ: В&А&Г

1535

В А Г

Кодификатор Решу НМТ:

5.1.1 Треугольник;

5.1.4 Окружность и круг;

5.1.5 Вписанная и описанная окружность треугольника.

4.  Тип 18 № 2695 Добавить в вариант

Источник: Тренировочная работа НМТ-2023 по математике (вариант 1)

Обчислення у планіметрії. Кола

У прямокутному трикутнику ACB $\angle C = 90 градусов,$ $\angle B = 24 градусов.$ На продовженні катета AC вибрано точку K так, що AK  =  KB (див. рисунок). Точка O  — центр кола, описаного навколо трикутника ACB. Узгодьте кут (1–3) із його градусною мірою (А–Д).

КУТ

1)   $\angle BAC$

2)   $\angle KBC$

3)   $\angle OKB$

ГРАДУСНАЯ МIРА КУТА

А)  24°

Б)  34°

В)  42°

Г)  66°

Д)  72°

Решение. Если возле прямоугольного треугольника описать окружность, гипотенуза станет ее диаметром, а точка O  — центр окружности  — попадет на середину гипотенузы (см. рис.).

Угол $\angle BAC = \angle A$ найдем из треугольника ABC с помощью теоремы о сумме углов треугольника:

$\angle A плюс \angle B плюс \angle C = 180 градусов равносильно \angle A = 180 градусов минус 90 градусов минус 24 градусов = 66 градусов.$ $\angle A плюс \angle B плюс \angle C = 180 градусов равносильно$
$равносильно \angle A = 180 градусов минус 90 градусов минус 24 градусов = 66 градусов.$

Угол $\angle KBC$ найдем из равнобедренного треугольника AKB с помощью признака равнобедренного треугольника:

$\angle A = \angle B равносильно 66 градусов = 24 градусов плюс \angle KBC равносильно \angle KBC = 42 градусов.$ $\angle A = \angle B равносильно 66 градусов = 24 градусов плюс \angle KBC равносильно$
$равносильно \angle KBC = 42 градусов.$ $\angle A = \angle B равносильно$
$равносильно 66 градусов = 24 градусов плюс \angle KBC равносильно$
$равносильно \angle KBC = 42 градусов.$

Для равнобедренного треугольника AKB отрезок OK, проведенный из вершины и делящий противоположную сторону пополам, является медианой, высотой и биссектрисой. Следовательно, $\angle OKB = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle K.$ Найдем угол $\angle K$ треугольника AKB по теореме о сумме углов в треугольнике:

$\angle A плюс \angle B плюс \angle K = 180 градусов равносильно \angle K = 180 градусов минус 66 градусов минус 66 градусов = 48 градусов,$ $\angle A плюс \angle B плюс \angle K = 180 градусов равносильно$
$равносильно \angle K = 180 градусов минус 66 градусов минус 66 градусов = 48 градусов,$

откуда $\angle OKB = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 48 градусов = 24 градусов.$

Правильное соответствие: 1  — Г, 2  — В, 3  — А.

Ответ: 1  — Г, 2  — В, 3  — А.

Ответ: ГВ&&А

2695

ГВ А

Источник: Тренировочная работа НМТ-2023 по математике (вариант 1)

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1511	Д А Б
2	1528	В Д Б
3	1535	В А Г
4	2695	ГВ А