Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 B7 № 915
i

У пра­вильній чо­ти­ри­кутній піраміді бічне ребро дорівнює 22, а тан­генс кута між бічною гран­ню і пло­щи­ною ос­но­ви дорівнює ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та . Знай­ти бік ос­но­ви піраміди.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния углов, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть R — длина по­ло­ви­ны диа­го­на­ли. В силу связи ос­нов­ных углов в пра­виль­ной пи­ра­ми­де:

тан­генс альфа = тан­генс бета / ко­рень из 2 = ко­рень из 7 ,

по­это­му

a = ко­рень из 2 R= ко­рень из 2 умно­жить на l ко­си­нус альфа .

Вы­чис­лим ко­си­нус альфа

ко­си­нус альфа = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс в квад­ра­те альфа плюс 1 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 8 конец дроби .

По­лу­ча­ем, что

a = ко­рень из 2 умно­жить на l ко­си­нус альфа = ко­рень из 2 умно­жить на 22 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 8 конец дроби = 11.

 

Ответ: 11.

 

При­ме­ча­ние.

До­ка­жем фор­му­лу связи ос­нов­ных углов в пра­виль­ной пи­ра­ми­де.

Пусть h — вы­со­та пи­ра­ми­ды, a — сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, тогда диа­го­наль ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 0,5a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; тан­генс бета = дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: 0,5a конец дроби , от­ку­да тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: тан­генс бета , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .
Кодификатор Решу НМТ: 5.3.3 Пи­ра­ми­да, её ос­но­ва­ние, бо­ко­вые рёбра, вы­со­та, бо­ко­вая по­верх­ность
Классификатор стереометрии: Пи­ра­ми­да, Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, Че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение