СКЛАДУ НМТ — математика

Вариант № 9342

Приватбанк нараховує терміновий внесок 20% річних. Вкладник поклав на рахунок 800 грн. Яка сума буде на цьому рахунку через рік, якщо жодних операцій із рахунком не проводитиметься?

А) 950

Б) 880

В) 960

Г) 820

Д) 990

Уранці визначили температуру на десяти метеостанціях. Отримані дані помістили у таблиці. Визначте х, якщо середнє арифметичне всіх даних дорівнює 3°.

Температура (у градусах)	2	3	x
Кількість метеостанцій	3	4	3

А) 4,4

Б) 3,4

В) 3,8

Г) 4,2

Д) 4

Скільки бічних граней у трикутної піраміди?

А) 1

Б) 2

В) 3

Г) 4

Д) 5

Найдите значение выражения $корень из: начало аргумента: 90 умножить на 30 умножить на 3 конец аргумента .$

А) 3

Б) 9

В) 30

Г) 90

Д) 300

На малюнку зображені розгорнутий кут AOM та промені OB та OC. Відомо, що ∠ AOC = 94 °, ∠ BOM = 126 °. Знайдіть величину кута BOC.

А) 40°

Б) 22°

В) 86°

Г) 54°

Д) 36°

Розв’яжіть рівняння $минус x минус 2 плюс 3 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка =3 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка минус 3.$

А) 2

Б) 4

В) 5,2

Г) 4,5

Д) −4,5

Через точку А (6; 8) проведено пряму, паралельну осі абсцис. Знайдіть ординату її точки перетину з віссю Oy.

А) 1

Б) 6

В) 5

Г) 9

Д) 8

Розкладіть на множники вираз $25 x в квадрате минус 1.$

А) $левая круглая скобка 25x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка$

Б) $левая круглая скобка 5x минус 1 правая круглая скобка в квадрате$

В) $левая круглая скобка 5x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x плюс 1 правая круглая скобка$

Г) $5 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка$

Д) $25 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка$

Які з наведених тверджень є правильними?

I. У будь-який трикутник можна вписати коло.

II. У будь-який прямокутник можна вписати коло.

III. У будь-який ромб можна вписати коло.

А) лише І

Б) лише II і III

В) лише I i ІІ

Г) лише I i ІІI

Д) І, II і III

10.  

Скоротіть дріб $дробь: числитель: 10 a b в кубе , знаменатель: 5 a в квадрате b конец дроби .$

А) $дробь: числитель: 2b в квадрате , знаменатель: a конец дроби$

Б) $дробь: числитель: b в степени 4 , знаменатель: 2a в кубе конец дроби$

В) $50a в кубе b в степени 4$

Г) $дробь: числитель: 2b в степени 4 , знаменатель: a в кубе конец дроби$

Д) $дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 2a конец дроби$

11.  

Розв’яжіть систему нерівностей $система выражений 4x минус 7 больше или равно 2x плюс 1,x больше или равно минус 3. конец системы .$

А) [−1; +∞)

Б) [−3; 4]

В) ∅

Г) [−3; +∞)

Д) [4; +∞)

12.  

Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 72 см. Обчисліть довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює 15 см.

А) 6 см

Б) 9 см

В) 10 см

Г) 12 см

Д) 14 см

13.  

Розв’яжіть рівняння $корень из: начало аргумента: 6 плюс 5x конец аргумента =x.$

А) $левая круглая скобка 6;9 правая квадратная скобка$

Б) $левая круглая скобка 5;8 правая квадратная скобка$

В) $левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка$

Г) $левая круглая скобка 1;5 правая круглая скобка$

Д) $левая круглая скобка минус 1;2 правая круглая скобка$

14.  

Знайдіть діагональ прямокутника, якщо його периметр дорівнює 28, а периметр одного із трикутників, на які діагональ розділила прямокутник, дорівнює 24.

А) 6

Б) 12

В) 10

Г) 4

Д) 8

15.  

Укажіть похідну функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 4x в кубе плюс тангенс x.$

А) $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = 12x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби тангенс x$

Б) $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = 12x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби тангенс x$

В) $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = x в степени 4 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус в квадрате x$

Г) $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = 12x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби косинус в квадрате x$

Д) $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = x в степени 4 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби тангенс x$

19.  

Давление воздуха под колоколом равно 625 мм ртутного столба. Каждую минуту насос откачивает из-под колокола 20% находящегося там воздуха. Определите давление (в мм рт. ст.) через 5 минут после начала работы насоса.

Відповідь: ,.

20.  

Студенти однієї з груп під час сесії повинні скласти п'ять іспитів. Декану потрібно призначити складання цих іспитів на п’ять визначених дат. Скільки всього існує різних варіантів розкладу іспитів для цієї групи?

Відповідь: ,.

21.  

Даны векторы $\veca левая круглая скобка 3; минус 2 правая круглая скобка$ и $\vecb левая круглая скобка 0; 1 правая круглая скобка .$ Найдите скалярное произведение $\vec a умножить на \vec b.$

Відповідь: ,.

22.  

Определите, при каких значениях параметра a, $a больше 3,$ такие, что уравнение $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 4a минус 4=0$ имеет ровно один корень.

Відповідь: ,.

Решение. Пусть $t=2 в степени x ,$ тогда $t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка t плюс 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0.$ Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученное уравнение должно иметь:

− единственный корень, который положителен (случай 1);

− два корня, один из которых положительный, а второй отрицательный (случай 2);

− два корня, один из которых положительный, а второй равен нулю (случай 3).

Случай 1. Дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю:

$левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 16 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно a в квадрате плюс 6a плюс 9 минус 16a плюс 16=0 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 10a плюс 25=0 равносильно левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно a=5.$ $левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус 16 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно a в квадрате плюс 6a плюс 9 минус 16a плюс 16=0 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 10a плюс 25=0 равносильно левая круглая скобка a минус 5 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно a=5.$

Тогда $t= дробь: числитель: a плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби =4,$ что соответствует условию положительности корня.

Случай 2. Пусть $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка t плюс 4a минус 4,$ тогда $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше 0,$ т. е. $4a минус 4 меньше 0,$ откуда $a меньше 1.$

Случай 3. Необходимо и достаточно выполнения системы $система выражений f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0,t_в больше 0, конец системы .$ откуда

$система выражений 4a минус 4=0, дробь: числитель: a плюс 3, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно a=1.$

Объединяя рассмотренные случаи с учетом условия $a больше 3,$ окончательно получаем $a=5.$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка 5 правая фигурная скобка .$

Приведем другое решение.

Пусть $t=2 в степени x ,$ тогда $t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка t плюс 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0.$ Заметим, что сумма корней уравнения $t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка t плюс 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка =0$ равна $a плюс 3,$ а их произведение равно $4a минус 4.$ Следовательно, это числа 4 и $a минус 1.$ Чтобы исходное уравнение имело ровно одно решение, полученное уравнение должно иметь ровно одно положительное решение. Для этого корень $a минус 1$ либо должен совпадать с числом 4, либо быть неположительным. Отсюда находим: $a\leqslant1$ и $a=5.$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	133	3
2	2553	5
3	2557	3
4	2271	4
5	502	1
6	266	2
7	1832	5
8	1894	3
9	1483	4
10	1711	1
11	2215	5
12	2523	4
13	414	2
14	2225	3
15	1502	4
16	1545	Д Г А
17	1554	Б В Г
18	1649	Г А Б
19	2608	204 8
20	2611	120
21	2632	-2
22	2419	5

Ключ